Demystifying the asymptotic behavior of global denoising
En collaboration avec Andrés Almansa et Julie Delon.
En 2012, Talebi et Milanfar ont proposé une approche de débruitage par patchs nommée « global denoising ». Cette méthode consiste à construire un filtre global à partir de la représentation par patchs d’une image, puis à optimiser ses valeurs propres afin d’optimiser l’erreur quadratique moyenne. Ils ont ensuite revendiqué dans [Talebi, 2016] que ce type d’approche est asymptotiquement optimal au sens où « l’erreur quadratique moyenne converge vers zéro lorsque la taille de l’image augmente », cela indépendamment du contenu de l’image, du moins dans le cas ou l’image non bruitée — que l’on appellera image « oracle » — est utilisée pour la construction du filtre et pour l’optimisation des valeurs propres.
Contribution
Ce travail propose de mettre en perspective ce résultat en soulevant deux questions :
- La convergence est-elle vraiment indépendante d’hypothèses sur l’image ?
- Ces conclusions se généralisent-elles au cas non-oracle ?
Pour cela, nous introduisons un modèle plus précis sur l’image et nous proposons de récrire le « global denoising » à la lumière de la théorie de l’estimation diagonale qui a été développée pour les bases d’ondelettes. Considérant une image u vue comme un vecteur, un estimateur diagonal û = W v est un estimateur non linéaire de u dont l’opérateur $W$ est diagonal dans une base orthonormée V, ce qui peut s’écrire
û = W v = VΛ^tv
où Λ est une matrice diagonale dont le coefficient λk(v) dépend de l’observation v. Ce type d’estimation est largement utilisé en restauration d’images et la base V est souvent une base de Fourier ou d’ondelettes. Le succès de ces méthodes provient du fait que si u est parcimonieux dans la base V, ces estimateurs diagonaux sont presque optimaux parmi tous les estimateurs non linéaires.
Dans ce contexte, nous exposons une nouvelle étude asymptotique du « global denoising » en introduisant des conditions précises sur l’image et sur le filtre global qui assurent que l’erreur quadratique moyenne tende vers zéro lorsque la taille de l’image tend vers l’infini. Nous faisons une distinction claire entre les deux niveaux d’oracle utilisés et nous proposons une étude sur la possibilité d’une extension de ces résultats au cas non-oracle.